A. Balilionis gimė prie Šeduvos, po II pasaulinio karo su visa šeima ištremtas prie Baikalo ežero. Tremtyje baigė vidurinę mokyklą. Vėliau šeima grįžo į Lietuvą ir 19 metų jaunuolis įstojo į aukštąją mokyklą, kūno kultūros pedagogo specialybę. Tuo metu žaidė Kauno „Atletas” jaunimo komandoje, išbandė visas pozicijas – nuo gynėjo iki puolėjo, tik vartuose nestovėjo.
Baigęs studijas turėjo atlikti pirmą profesinę praktiką Mažeikiuose, po karinės tarnybos ir trumpos darbo praktikos Kaune atvyko į Panevėžį (apie 1964-1965 m.), kur dirbo Panevėžio sporto mokyklos futbolo grupės treneriu.
1969-1976 metų A. Balilionis ugdė buvusį „Ekrano”vartininką Virginijų Liubšį. Valdemaras Šteinas taip pat vaikystėje treniruotas A. Balilionio. Kartu su A. Balilioniu futbolą žaidė Julius Kvederas. A. Balilionio auklėtiniai, tapę Lietuvos futbolo čempionais: V. Liubšys, G. Juzelėnas, V. ir G. Abramavičiai, V. Laniauskas, E. Balvočius, A. Mykolaitis, V. Deveikis, A. Petrauskas, A. Klimavičius, G. Rimkus, R. Vilėniškis, Stanislovas Danisevičius, Valdas Urbonas. Vyresniosios kartos žinomi krašto futbolininkai, A. Balilionio auklėtiniai: V. Šnioka, broliai Šteinai, A. Šarkis, R. Tamašauskas, A. Likas, V. Putė, V. Niurka, A. ir K. Brazdžiūnai, J. Jaroškė, V. Stankūnas, S. Ribokas, V. Fadejevas, R. Gardzijauskas, A. Šlikas, E. Matulevičius, R. Frolovas, R. Kuzma, A. Markevičius, S. Pusvaškis, A. Pušnys, M. Sokolnikovas, žymus Panevėžio aktorius A. Keleris.
